Diferença entre série Power e série Taylor
Série Power vs Taylor Series
Em matemática, uma seqüência real é uma lista ordenada de números reais. Formalmente, é uma função do conjunto de números naturais para o conjunto de números reais. Se a n for o n th termo de uma seqüência, denotamos a seqüência por ou por a 1 , a 2 , …, a n, …. Por exemplo, considere a seqüência 1, ½, ⅓, …, 1 / n , …. Pode ser denotado como {1 / n}.
É possível definir uma série usando sequências. Uma série é a soma dos termos de uma seqüência. Portanto, para cada seqüência, há uma seqüência associada e vice-versa. Se {a n} for a sequência em consideração, então, a série formada por essa seqüência pode ser representada como:
Assim, no exemplo acima, a série associada é 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Como os nomes sugerem, a série de energia é um tipo especial de série e é amplamente utilizada na Análise Numérica e modelagem matemática relacionada. Taylor series é uma série de poder especial que fornece uma maneira alternativa e fácil de manipular de representar funções bem conhecidas.
O que é Power Series?
Uma série de energia é uma série da forma
que é convergente (possivelmente) para algum intervalo centrado em c. Os coeficientes a n podem ser números reais ou complexos e são independentes de x; Eu. e. a variável dummy.
Por exemplo, definindo a n = 1 para cada n, e c = 0, a série de energia 1 + x + x 2 + … + x n + … é obtido. É fácil observar que quando x ε (-1, 1), esta série de potência converge para 1 / (1-x).
Uma série de energia converge quando x = c. Os outros valores de x para os quais as séries de potência convergem sempre assumirão a forma de um intervalo aberto centrado em c. Isto é, haverá um valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x satisfazendo | xc | ≤ R, a série de energia é convergente e para cada x satisfazendo | xc |> R, a série de energia é divergente. Esse valor R é chamado de raio de convergência da série de energia (R pode ter qualquer valor real ou infinito positivo).
como termos são adicionados ou subtraídos juntos. Além disso, é possível multiplicar e dividir as duas séries de energia usando a identidade, O que é Taylor series?
A série Taylor é definida para uma função
f (x) que é infinitamente diferenciável em um intervalo. Assuma f (x) é diferenciável em um intervalo centrado em c. Então, a série de energia fornecida por
f (x) sobre c. (Aqui f (n) ( c) denotam a derivação n th em x = c). Na análise numérica, um número finito de termos nesta expansão infinita é usado no cálculo de valores em pontos onde a série é convergente para a função original. Uma função
f (x) é dita analítica no intervalo (a, b), se para cada x ε (a, b), a série Taylor de f (x) converge para a função f (x). Por exemplo, 1 / (1-x) é analítico em (-1, 1), uma vez que sua expansão de Taylor 1 + x + x 2 + … + x n + … converge para a função nesse intervalo e e x é analítico em todos os lugares, uma vez que a série Taylor de e x converge para e x < para cada número real x. Qual a diferença entre as séries Power e Taylor?
1. Taylor series é uma classe especial de séries de energia definida apenas para funções que são infinitamente diferenciáveis em algum intervalo aberto.
2. Taylor series toma a forma especialenquanto que uma série de poder pode ser qualquer série da forma
