Diferença entre números racionais e irracionais Diferença entre
O termo "números" traz à nossa mente o que geralmente é classificado como valores inteiros positivos maiores que zero. Outras classes de números incluem números inteiros e frações , complexos e números reais e também valores inteiros negativos .
Estendendo ainda mais as classificações de números, encontramos números racionais e irracionais . Um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração. Em outras palavras, o número racional pode ser escrito como uma proporção de dois números.
Considere, por exemplo, o número 6 . Pode ser escrito como a proporção de dois números viz. 6 e 1 , levando à razão 6/1 . Do mesmo modo, 2/3 , que é escrito como uma fração, é um número racional.
Podemos, portanto, definir um número racional, como um número escrito na forma de uma fração, em que tanto o numerador (o número em cima) quanto o denominador (o número na parte inferior) são números inteiros. Por definição, portanto, todo número inteiro é também um número racional.
Uma proporção de dois grandes números, tais como ( 129, 367, 871 ) / ( 547, 724, 863 ) também constituirá um exemplo de um número racional pelo simples motivo de que tanto o numerador quanto o denominador são números inteiros.
Por outro lado, qualquer número que não pode ser expresso na forma de uma fração ou uma proporção é denominado como irracional. O exemplo mais comummente citado de um número irracional é √ 2 ( 1. 414213 …) . Outro exemplo popular de um número irracional é a constante numérica π ( 3. 141592 … ) .
Um número irracional pode ser escrito como um decimal, mas não como uma fração. Os números irracionais não são freqüentemente usados na vida diária, embora existam na linha do número. Há um número infinito de números irracionais entre 0 e 1 na linha numérica. Um número irracional tem dígitos intermináveis sem repetição à direita do ponto decimal.
Observe que o valor citado de 22/7 para a constante π é na verdade apenas um dos valores de π >. Por definição, a circunferência de um círculo dividido pelo dobro de seu raio é o valor de π. Isso leva a vários valores de π , incluindo, mas não limitado a, 333/106, 355/113 e assim por diante1. Apenas as raízes quadradas dos números quadrados; Eu. e., as raízes quadradas dos
quadrados perfeitos são racionais.
= 1 (Rational) √2
(Irracional) √3
(Irracional) √4 < = 2
(Rational) √5, √6, √7, √8 (Irracional)
√9 = 3
(Racional) e assim por diante. Além disso, observamos que, apenas as n
th raízes de n th poderes são racionais. Assim, a 6th raiz de 64 é racional, porque 64 é uma 6ª , a saber, a 6th poder de 2 . Mas a 6th raiz de 63 é irracional. 63 não é uma potência perfeita 6 th .
racional
como um decimal, então o decimal será exato (como em 1/5 = 0. 20) ou será inexato (como em 1/3 ≈ 0. 3333 ). Em ambos os casos, haverá um padrão previsível de dígitos. Observe que quando um número irracional é expresso como um decimal, então, claramente, ele será inexato, pois, de outra forma, o número seria racional. Além disso, não haverá um padrão previsível de dígitos. Por exemplo, √2 ≈
1. 4142135623730950488016887242097
Agora, com números racionais, ocasionalmente encontramos 1/11 = 0. 0909090
. O uso de ambos o sinal de igual ( =) e três pontos ( elipses ) implica que, embora não seja possível expressar 1/11 exatamente como um decimal, ainda podemos aproximá-lo com tantos dígitos decimais quanto possível para aproximar 1/11 . Assim, a forma decimal de 1/11
é considerada inexata. Do mesmo jeito, a forma decimal de ¼ que é 0. 25, é exata. Vindo para a forma decimal para números irracionais, eles serão sempre inexatos. Continuando com o exemplo de √
2 , quando escrevemos √2 = 1. 41421356237 … (observe o uso de elipses), isso implica imediatamente que nenhum decimal para > √2 será exato. Além disso, não haverá um padrão previsível de dígitos. Usando conceitos a partir de métodos numéricos, novamente, podemos racionalmente se aproximar de tantos dígitos decimais quanto até esse ponto que estamos perto de √2 . Qualquer nota sobre números racionais e irracionais não pode terminar sem a prova obrigatória de por que √2 é irracional. Ao fazê-lo, também elucidamos, o exemplo clássico de uma radiação por cont .
Suponha que √2 seja racional. Isso nos leva a representá-lo como uma proporção de dois inteiros, digamos p
eq . √2 = p / q Escusado será dizer que p
e
q não têm fatores comuns, pois se houvesse algum fator comum, teríamos cancelado Fora do numerador e do denominador. Ao quadrado de ambos os lados da equação, acabamos com,
2
/ q2 Isto pode ser convenientemente escrito como, p 2
= 2q > 2
A última equação sugere que p 2 é uniforme. Isso só é possível se
p for mesmo. Isto, por sua vez, implica que p 2 é divisível por 4 . Portanto, q 2 e, consequentemente, q devem ser pares.Então p e q são ambos, mesmo que é uma contradição com a nossa suposição inicial de que eles não têm fatores comuns. Assim, √2 não pode ser racional. P. E. D.
